Η μεγαλύτερη απόδειξη στην ιστορία των Μαθηματικών φτάνει τα 200 terabyte

στις

Τρεις μαθηματικοί καμαρώνουν για τη μεγαλύτερη απόδειξη μαθηματικού προβλήματος, ένα τερατώδες αρχείο των 200 terabyte, περίπου όσο το σύνολο των ψηφιοποιημένων βιβλίων στη Βιβλιοθήκη του Κογκρέσου.

7824Οι αριθμοί 1 έως 7824 μπορούν να χρωματιστούν είτε με μπλε χρώμα είτε με κόκκινο, έτσι ώστε να μην υπάρχει καμία πυθαγόρεια τριάδα με το ίδιο χρώμα. Το πλέγμα των 7824 τετραγώνων της εικόνας δείχνει μια τέτοια λύση (τα λευκά τετράγωνα μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε χρώμα από τα δυο). Όμως για τους αριθμούς 1 έως 7825 αυτό είναι αδύνατο

Όπως αναφέρει ο δικτυακός τόπος του περιοδικού Nature, η άκρως μακροσκελής λύση αφορά το πρόβλημα της «μπούλειας πυθαγόρειας τριπλέτας», Οι αριθμοί 1 έως 7824 μπορούν να χρωματιστούν είτε με μπλε χρώμα είτε με κόκκινο, έτσι ώστε να μην υπάρχει καμία πυθαγόρεια τριάδα με το ίδιο χρώμα. Το πλέγμα των 7824 τετραγώνων της εικόνας δείχνει μια τέτοια λύση (τα λευκά τετράγωνα μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε χρώμα από τα δυο). Όμως για τους αριθμούς 1 έως 7825 αυτό είναι αδύνατο το οποίο βασανίζει τους μαθηματικούς εδώ και δεκαετίες.

Το πρόβλημα θέτει το ερώτημα του κατά πόσον είναι δυνατό να χρωματιστεί κάθε θετικός ακέραιος αριθμός κόκκινος ή μπλε, έτσι ώστε καμία τριάδα ακεραίων που ικανοποιεί την πυθαγόρεια εξίσωση α222 να μην είναι ομοιόμορφα χρωματισμένη.

Για παράδειγμα, στην πυθαγόρεια τριπλέτα 3, 4 και 5, αν το τρία και το 5 είχαν χρωματιστεί μπλε, το 4 θα έπρεπε να είναι κόκκινο.

Η διατύπωση του προβλήματος: Μπορούμε να διαχωρίσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν={1, 2, 3, 4, …} σε δυο σύνολα, τέτοια ώστε κανένα από τα δυο να μην περιέχει πυθαγόρειες τριάδες (δηλαδή τριάδες αριθμών α, β, γ που ικανοποιούν τη σχέση α2 + β2= γ2);

Ή να το πούμε διαφορετικά: Είναι δυνατόν να χρωματίσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς είτε με κόκκινο είτε με μπλε χρώμα, έτσι ώστε να μην υπάρχει πυθαγόρεια τριάδα ακεραίων α, β, γ (α2 + β2 = γ2) με το ίδιο χρώμα;

Για παράδειγμα, στην πυθαγόρεια τριάδα 3, 4 και 5, αν τα 3 και 5 είναι χρώματος μπλε, τότε το 4 θα πρέπει να είναι κόκκινο.

Η απάντηση στο μεγάλο πρόβλημα αναρτήθηκε στην υπηρεσία προδημοσίευσης arXiv από τον Ronald Graham του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια στο Σιαν Ντιέγκο, τον Όλιβερ Κούλμαν του Πανεπιστημίου του Σουάνζι στη Βρετανία και τον Βίκτορ Μάρεκ του Πανεπιστημίου του Κεντάκι στο Λέξινγκτον.

Οι τρεις ερευνητές αποδεικνύουν ότι η απαίτηση του προβλήματος ικανοποιείται για τους ακέραιους αριθμούς από το 1 έως το 7.824 αλλά όχι πιο πάνω. Όταν κανείς φτάσει στο 7.825, είναι αδύνατο να περιέχουν και κόκκινο και μπλε όλες οι τριπλέτες που ικανοποιούν το πυθαγόρειο θεώρημα.

Για να λύσουν το πρόβλημα, οι ερευνητές χρειάστηκαν 2 μέρες επεξεργασίας σε 800 επεξεργαστές του υπερυπολογιστή Stampede του Πανεπιστημίου του Τέξας.

Αν και υπάρχουν περισσότεροι από 102300 τρόποι να χρωματίσει κανείς τους ακέραιους μέχρι το 7.825, οι τρεις μαθηματικοί εκμεταλλεύτηκαν συμμετρίες των αριθμών, καθώς και διάφορες τεχνικές της θεωρίας των αριθμών, για να περιορίσουν τις πιθανότητες που έπρεπε να εξετάσει ο υπερυπολογιστής στο ένα τρισεκατομμύριο.

Στην επόμενη φάση, η λύση επιβεβαιώθηκε με τη βοήθεια διαφορετικού λογισμικού.

Οι μαθηματικές αποδείξεις που προκύπτουν από υπολογιστές, και είναι πρακτικά αδύνατο να επιβεβαιωθούν από ανθρώπους, γίνονται όλο και συχνότερες τα τελευταία χρόνια.

Όπως όμως επισημαίνει ο Όλιβερ Κούλμαν της ερευνητικής ομάδας, η απόδειξη στο πρόβλημα δεν προσφέρει καμία εξήγηση γιατί ο χρωματισμός των τριπλετών είναι αδύνατος πέρα από το 7.825, ούτε εξετάζει το εάν ο συγκεκριμένος αριθμός έχει κάποια ιδιαίτερη σημασία.

Και αυτό θέτει εν αμφιβόλλω το κατά πόσον η απόδειξη είναι πραγματικά μαθηματικά -τουλάχιστον αν δεχθεί κανείς ότι στόχος των μαθηματικών είναι να προσφέρουν κατανόηση και γνώση και όχι να συσσωρεύουν αχανείς όγκους δεδομένων.

Αυτό, σχολιάζει το Nature, κατέστη προφανές στην περίπτωση του προηγούμενου κατόχου του ρεκόρ μεγαλύτερης απόδειξης, ένα τέρας των 13 gigabyte που δημοσιεύτηκε το 2014.

Ένα χρόνο αργότερα, μαθηματικός του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες εξέτασε το ίδιο πρόβλημα με τον παραδοσιακό τρόπο και προσέφερε έτσι μια πιο «ουσιαστική» λύση.

Πηγή και εδώεδώ

Advertisements