10 χρόνια από την απόδειξη της εικασίας του Πουανκαρέ από τον Perelman Grigory

στις

Το 2006 ανακοινώθηκε η απόδειξη της διάσημης Εικασίας του Πουανκαρέ, που ήταν άλυτη για 100 χρόνια περίπου, από τον αινιγματικό ρώσο μαθηματικό Perelman Grigory. Τότε προκλήθηκε στον επιστημονικό κόσμο ένας πρωτόγνωρος θαυμασμός για την τιτάνια προσπάθεια αυτής της εργασίας.  Αίσθηση δε είχε προκαλέσει και το γεγονός ότι ο ρώσος Perelman έγινε το πρώτο πρόσωπο που αρνήθηκε το μετάλλιο Fields, την υψηλότερη τιμή στα μαθηματικά, μαζί με 1.000.000 δολάρια. .

Grigori Perelman-math

Ο 50-χρονος σήμερα Perelman, που μετακόμισε πια στην Σουηδία, φοίτησε σε σχολείο της Αγίας Πετρούπολης με ειδίκευση στα Μαθηματικά και τη Φυσική και σε ηλικία 16 ετών κέρδισε το χρυσό μετάλλιο στην Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα το 1982. Αφότου ολοκλήρωσε το διδακτορικό στο Πανεπιστήμιο της Αγίας Πετρούπολης και εργάστηκε για λίγο στη Ρωσία, μετακόμισε στις ΗΠΑ. Πριν από περίπου είκοσι χρόνια επέστρεψε στη Ρωσία, για να να εργαστεί στην απόδειξή του για το σχήμα του Σύμπαντος. Καταδέχτηκε πάντως να περιγράψει την απόδειξη το 2003 στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον

Σε μια σπάνια συνέντευξη, ο Perelman είπε σο περιοδικό New Yorker : "Δεν μου είναι καθαρό ποια ήταν η συμβολή που έκανα."

Αλλά η εργασία του – σχετικά με την Εικασία που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος μαθηματικός, φυσικός και φιλόσοφος Ζιλ Ανρί Πουανκαρέ σχετικά με τα σχήματα που είναι δυνατόν να έχει το Σύμπαν – είχε ενθουσιάσει τον χώρο των Μαθηματικών  – αλλά συγχρόνως υπήρξε και μια διαμάχη.

Ο Terence Tao, καθηγητής των μαθηματικών στο πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας στο Λος Άντζελες, είχε αποκαλέσει το αποτέλεσμα του Perelman σαν το "καλύτερο κομμάτι των μαθηματικών που έχουμε δει τα τελευταία 10 χρόνια".

Ο Timofey Shilkin, συνάδελφος του Perelman στο Ίδρυμα Μαθηματικών Steklov στην Αγία Πετρούπολη, τον περιέγραφε σαν μεγαλοφυΐα. Αλλά ότι ήταν ένα άτομο πολύ εσωστρεφές.

Για αρκετά χρόνια εργάστηκε, ως επί το πλείστον, μόνο πάνω στην Εικασία Πουανκαρέ. Όλες οι αποδείξεις που είχαν προταθεί ως σήμερα είχαν αποδειχθεί ψευδείς. Έπειτα από οκτώ χρόνια προσπαθειών, ο Perelman κατέληξε το 2002 σε μια απόδειξη 473 σελίδων στην οποία οι συνάδελφοί του δεν κατάφεραν να εντοπίσουν λάθος.

Επειδή ο Perelman είχε έρθει σε διάσταση με τους υπόλοιπους μαθηματικούς που ελέγχουν τα περιοδικά, γι αυτό και δεν την έστειλε προς δημοσίευση σε ένα από τα έγκυρα μαθηματικά περιοδικά. Μια δημοσίευση σε αυτά θα ήταν αδύνατη αφ’ ενός διότι οι εκδότες δε θα τη δημοσίευαν, αφ’ ετέρου διότι ο ίδιος δεν ήθελε να καταστήσει κριτές του έργου του ανθρώπους τους οποίους (υπεροπτικά ίσως) θεωρούσε κατώτερούς του. Οπότε χρησιμοποίησε το Διαδίκτυο και η σημαντική μελέτη του δεν έμεινε άγνωστη. Μάλιστα δημοσίευσε μόνο τα βασικά σημεία της μελέτης του, χωρίς πλήρη και λεπτομερή απόδειξη. Πήρε 4 χρόνια δουλειά στους υπολοίπους να κατανοήσουν και να ασχοληθούν με την απόδειξή του χωρίς να βρουν λάθος.

Η Εικασία Πουανκαρέ είναι ένα κεντρικό ζήτημα στην τοπολογία, τη μελέτη των γεωμετρικών ιδιοτήτων των αντικειμένων που δεν αλλάζουν όταν τεντώνονται, διαστρεβλώνονται ή συρρικνώνονται.

Η επιφάνεια της Γης περιγράφεται ως δισδιάστατη σφαίρα από την τοπολογία. Εάν κάποιος την περικύκλωνε με ένα λάσο, θα μπορούσε να την αναγκάσει να περιοριστεί σε ένα σημείο. Στην επιφάνεια του ντόνατς, εντούτοις, ένα λάσο που θα περνούσε μέσα από την τρύπα του στο κέντρο, δεν θα μπορούσε να το περιορίσει σε ένα σημείο χωρίς να κοπεί η επιφάνεια.

Για παράδειγμα η Εικασία του Πουανκαρέ καθορίζει ποια στερεά σώματα (ή πολλαπλότητες σε αφηρημένους μαθηματικούς χώρους άνω των τριών διαστάσεων) είναι ισοδύναμα, από τοπολογική άποψη με μια σφαίρα και ποια όχι. Π.χ. ένας κύβος από πλαστελίνη είναι ισοδύναμος με σφαίρα, αφού μπορούμε να τον πλάσουμε σαν σφαίρα, ενώ ένα ντόνατς δεν είναι, γιατί έχει μια τρύπα στη μέση.

Φαντασθείτε ότι έχετε ένα λάστιχο, ένα μήλο και ένα ντόνατς με τρύπα στη μέση. Αν τραβήξετε το λάστιχο και το τοποθετήσετε περιμετρικά γύρω από το μήλο, θα μπορείτε να μετακινήσετε το λάστιχο από τον «Ισημερινό» στον «Πόλο» του μήλου, χωρίς να σκίσετε το λάστιχο και χωρίς να εγκαταλείψετε την επιφάνεια του μήλου. Αν, όμως, το λάστιχο τοποθετηθεί πάνω στην επιφάνεια του ντόνατς, τότε δεν υπάρχει τρόπος να μετακινήσουμε το λάστιχο σε όλη την επιφάνεια του ντόνατς, χωρίς να το σκίσουμε ή το ένα ή το άλλο. Ο Πουανκαρέ υπέθεσε ότι κάτι ανάλογο συμβαίνει και στον τετραδιάστατο χώρο, ενώ σύγχρονοι Μαθηματικοί απέδειξαν ότι κάτι τέτοιο συμβαίνει και σε χώρο περισσότερων των τεσσάρων διαστάσεων.

O Πουανκαρέ χαρακτηρίσθηκε ως «Ο Τελευταίος Αναγεννησιακός Άνθρωπος», ένας Μαθηματικός που αισθανόταν άνετα σε κάθε τομέα των Μαθηματικών, όπως την ανάλυση, την άλγεβρα, την τοπολογία, την αστρονομία και τη θεωρητική φυσική. Ο Γάλλος Μαθηματικός ήταν μεγάλος οραματιστής, που πρώτος εξέφρασε τη βασική αρχή της Θεωρίας του Χάους, ότι δηλαδή «μικρές διαφορές στις αρχικές συνθήκες προκαλούν μεγάλες διαφορές στο τελικό αποτέλεσμα».

Έλεγχος της εργασίας του Perelman

Από το 19ο αιώνα, οι μαθηματικοί ξέρουν ότι η σφαίρα είναι το μόνο δισδιάστατο αντικείμενο με αυτήν την ιδιότητα, αλλά ήταν αβέβαιοι για τα αντικείμενα με περισσότερες διαστάσεις. Η Εικασία Πουανκαρέ λέει ότι μια τρισδιάστατη σφαίρα είναι ο μόνος περιβαλλόμενος τρισδιάστατος χώρος χωρίς οπές.

Την απόδειξη της Εικασίας την απέφευγαν οι μαθηματικοί έως ότου ταχυδρόμησε ο Perelman την εργασία του στον ιστοχώρο arXiv.org.  Ο ιστοχώρος αυτός είναι ένας κεντρικός υπολογιστής, όπου οι ερευνητές ανεβάζουν τις εργασίες του για μια άτυπη ανατροφοδότηση προτού να τα υποβάλουν σε ένα επιστημονικό περιοδικό.

Η φιλονικία του όμως με τη μαθηματική κοινότητα απειλούσε να επισκιάσει το επίτευγμα του Perelman.

Ο μεγαλοφυής Ρώσος ανέπτυξε έναν τρόπο για να απομακρύνει ένα εμπόδιο που υπήρχε για τη λύση του προβλήματος. Και μετά ήρθε η σειρά των άλλων να ελέγξουν την απόδειξή του.

Και σ’ αυτό το στάδιο της διαδικασίας – όταν οι μαθηματικοί έσκυψαν πάνω από την εργασία του Perelman για να αξιολογήσουν την ακρίβειά του – άρχισε να ανέρχεται στην επιφάνεια ένα πολύ κακό συναίσθημα.

"Πλήρης απόδειξη"

Το 2005, μια κινέζικη ομάδα από τους Huai-Dong Cao και Xi-Ping Zhu δημοσίευσαν μια εργασία, που όπως  ισχυρίστηκαν ήταν "η πρώτη εξήγηση της πλήρους απόδειξης της Εικασίας του Πουνκαρέ".

Οι Cao και Zhu πήραν την εντολή να τσεκάρουν την απόδειξη του Perelman από τον μέντορα τους Shing-Tung Yau έναν κινέζο καθηγητή των μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ.

Αμέσως μόλις δημοσιεύθηκε η εργασία του Cao-Zhu, ο καθηγητής Yau έκανε μια ομιλία στην οποία είπε: "Στην εργασία του Perelman, πολλές βασικές ιδέες των αποδείξεων είναι επιγραμματικές αλλά οι πλήρεις λεπτομέρειες των αποδείξεων συχνά λείπουν."

Κι αυτό έσυρε την οργή των άλλων στο χώρο, που είπαν ότι η προβολή του Yau της εργασίας των προστατευόμενων του πήγε πάρα πολύ μακριά.

Εντούτοις, μιλώντας στην εφημερίδα New York Times τον Οκτώβριο του 2006, ο καθηγητής Yau αρνήθηκε ότι είπε ότι υπήρξαν χάσματα στην εργασία του Perelman.

Advertisements