Αναρτήθηκε από: physics4u | 18/04/2011

Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του Αϊνστάιν ανατρέπει το νόμο της βαρύτητας του Νεύτωνα

Einstein 1921Ο νόμος του Νεύτωνα για τη βαρύτητα ήταν πολύ σημαντικός διότι ενσωμάτωνε σε μία σχέση όλα όσα είχαν προσπαθήσει να εξηγήσουν για το Ηλιακό Σύστημα ο Κοπέρνικος, ο Κέπλερ και ο Γαλιλαίος, ενώ έδωσε με ακρίβεια τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον ήλιο. Έτσι, αφού εξουσίαζε όλο το γνωστό σύμπαν οι φυσικοί υπέθεταν ότι το πρόβλημα της βαρύτητας είχε επιλυθεί και χρησιμοποιούσαν τον τύπο του Νεύτωνα για να εξηγήσουν τα πάντα, από την πτήση ενός βέλους μέχρι την τροχιά ενός κομήτη.

Όμως, μετά από μερικούς αιώνες ο Άλμπερτ Αϊνστάιν έμελλε να ήταν ο πρώτος που θα συνειδητοποιούσε ότι ίσως υπήρχαν περισσότερα πράγματα σχετικά με τη βαρύτητα από όσα είχε φανταστεί ο Νεύτωνας. Έπειτα από το annus mirabilis 1905, οπότε δημοσίευσε πέντε ιστορικές εργασίες, ο Αϊνστάιν επικεντρώθηκε στην επέκταση της θεωρίας της ειδικής σχετικότητας σε μια γενική θεωρία. H επέκταση περιελάμβανε μια ριζικά διαφορετική ερμηνεία της βαρύτητας βασισμένη σε μια θεμελιωδώς διαφορετική εκδοχή του τρόπου που οι πλανήτες, οι δορυφόροι και τα μήλα έλκονται μεταξύ τους.

Εισαγωγή του χωροχρόνου

Στον πυρήνα της νέας προσέγγισης του Αϊνστάιν βρισκόταν η ανακάλυψη ότι τόσο ο χώρος όσο και ο χρόνος είναι εύκαμπτοι και προσαρμοστικοί, ως συνέπεια της θεωρίας του για την ειδική σχετικότητα. Γιατί ένας ακίνητος παρατηρητής βλέπει και διαφορετική διάρκεια ενός γεγονότος και διαφορετικά μήκη, από ό,τι βλέπει ένας κινούμενος παρατηρητής. Και μάλιστα οι ευελιξίες (μεταβλητότητες) του χώρου και του χρόνου είναι αναπόσπαστα συνδεδεμένες, πράγμα που οδήγησε τον Αϊνστάιν στη θεώρηση μίας και μόνο, ενιαίας, ευπροσάρμοστης οντότητας, στον χωρόχρονο.

Το 1905 ο Henri Poincare  σε μια εργασία που υπέβαλε προς δημοσίευση τον Ιούλιο του 1905, λίγες μέρες πριν δημοσιεύσει ο Αϊνστάιν την θεωρία της ειδικής σχετικότητας, πρότεινε ότι όλες οι δυνάμεις θα έπρεπε να μετατραπούν σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς Λόρεντζ. Αλλά αν συνέβαινε αυτό, τόνισε, ο νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα, δεν μπορεί να ισχύει όπως είναι επειδή ο νόμος αυτός επιτρέπει την ακαριαία δράση από απόσταση. Κατ’ αναλογία με την ηλεκτρομαγνητική θεωρία, ο Poincaré πρότεινε ότι και οι βαρυτικές αλληλεπιδράσεις πραγματοποιούνται με την ταχύτητα του φωτός και περιλαμβάνουν κύματα που διαδίδονται με σταθερό ρυθμό. Νωρίτερα, το 1900, ο Λόρεντζ είχε αφήσει να εννοηθεί ότι και η βαρύτητα θα μπορούσε να αποδοθεί σε ενέργειες που ταξιδεύουν με την ταχύτητα φωτός.

Αλλά και σύμφωνα με τον Αϊνστάιν η νευτώνεια θεωρία για τη βαρύτητα έπρεπε να είναι λανθασμένη, λόγω του ότι στη νευτώνεια θεώρηση η βαρυτική δύναμη είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης μεταξύ των δύο σωμάτων. Αλλά με την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, η απόσταση αλλάζει ανάλογα με το σύστημα αναφοράς. Ή για να το πούμε αλλιώς ο νόμος του Νεύτωνα δεν συμφωνεί με την ειδική θεωρία της σχετικότητας, γιατί τα διαστήματα δεν είναι σταθερά ως προς τους μετασχηματισμούς Lorentz. Συνεπώς, έπρεπε να διατυπωθεί με τέτοιον τρόπο ο νόμος της Παγκόσμιας Έλξης, ώστε να είναι σταθερός ως προς τους μετασχηματισμούς Lorentz.

Αποδείχθηκε ότι αυτός ο ευέλικτος χωρόχρονος ήταν η αιτία εμφάνισης της βαρύτητας. Αυτή η παράδοξη ευελιξία είναι αναμφίβολα κάτι που δύσκολα μπορούμε να κατανοήσουμε, αλλά υπάρχει ένας εύκολος τρόπος οπτικοποίησης της φιλοσοφίας του Αϊνστάιν για τη βαρύτητα.

 

generala

generalb

relativity_gravitation

Τα τρία διαγράμματα είναι δισδιάστατες αναπαραστάσεις του τετραδιάστατου
χωροχρόνου, αν αγνοήσουμε το χρόνο και τη μία χωρική διάσταση.

  • Στο διάγραμμα (a) παρουσιάζεται μια επίπεδη, λεία και αδιατάρακτη επιφάνεια χωρισμένη σε τετραγωνάκια, η οποία αναπαριστά έναν χώρο δίχως σώματα στο εσωτερικό του. Αν ένας πλανήτης εισέλθει και διασχίσει αυτόν το χώρο θα ακολουθήσει μια ευθεία γραμμή.
  • Στο διάγραμμα (b) φαίνεται ο χώρος που έχει παραμορφωθεί από ένα βαρύ αντικείμενο όπως ο Ήλιος. Το βάθος της παραμόρφωσης εξαρτάται από τη μάζα του αντικειμένου.
  • Στο διάγραμμα (c) παρουσιάζεται η Γη μας που βρίσκεται σε τροχιά γύρω από την
    παραμόρφωση που έχει προκαλέσει ο Ήλιος. Η Γη φυσικά προκαλεί τη δική της μικρή παραμόρφωση στον χωροχρόνο, αλλά είναι πολύ μικρή επειδή ο πλανήτης είναι πολύ πιο ελαφρός από τον Ήλιο.

O χωρόχρονος αποτελείται από τέσσερις διαστάσεις, τρεις χωρικές και μία χρονική, πράγμα που οι περισσότεροι θνητοί δυσκολεύονται να φανταστούν. Για ευκολία, ας θεωρήσουμε δύο χωρικές διαστάσεις, όπως φαίνεται στο πιο πάνω σχήμα. Ευτυχώς, αυτός ο στοιχειώδης χωρόχρονος διαθέτει πολλά από τα κύρια χαρακτηριστικά του αυθεντικού χωροχρόνου, και έτσι αποτελεί μια βολική απλοποίηση.

Στο διάγραμμα (a) φαίνεται ότι ο χώρος (και κατ’ ουσίαν ο χωρόχρονος μοιάζει με ένα ελαστικό κομμάτι ύφασμα και τα τετραγωνάκια στην ύφανση του μας βοηθούν να δείξουμε ότι αν κανένα αντικείμενο δεν υπάρχει στον χώρο, τότε το «ύφασμα» είναι επίπεδο και αδιατάρακτο.

Στο διάγραμμα (b) φαίνεται ο τρόπος που ο εύκαμπτος δισδιάστατος χωρόχρονος αλλάζει ριζικά όταν τοποθετήσουμε πάνω του ένα αντικείμενο. Το δεύτερο αυτό διάγραμμα θα μπορούσε να αναπαριστά το χώρο που παραμορφώνεται εξαιτίας του Ήλιου, ακριβώς όπως το τραμπολίνο παραμορφώνεται κάτω από το βάρος μιας μπάλας του μπόουλινγκ.

Στην πραγματικότητα, η αναλογία με το τραμπολίνο μπορεί να επεκταθεί. Αν η μπάλα του μπόουλινγκ αναπαριστά τον Ήλιο, τότε μια μπάλα του τένις που αναπαριστά τη Γη μπορεί να τεθεί σε τροχιά γύρω του, όπως φαίνεται στο διάγραμμα(c). H μπάλα του τένις ουσιαστικά δημιουργεί το δικό της μικροσκοπικό κοίλωμα στο τραμπολίνο και μεταφέρει το κοίλωμα της κατά την πορεία της πάνω στο τραμπολίνο. Αν θέλουμε να μοντελοποιήσουμε τη Σελήνη, τότε θα πρέπει να προσαρτήσουμε ένα βόλο στο κοίλωμα της μπάλας του τένις και να τον αναγκάσουμε να περιφέρεται γύρω από αυτήν, καθώς η μπάλα του τένις και το κοίλωμα της θα κινούνται γύρω από την κοιλότητα που έχει δημιουργηθεί από την μπάλα του μπόουλινγκ.

Η καμπύλωση του χωροχρόνου και η βαρύτητα

Ο Νεύτωνας έλεγε ότι ένα μήλο έπεφτε στη Γη επειδή υπήρχε μια αμοιβαία ελκτική βαρυτική δύναμη ανάμεσα τους, αλλά ο Αϊνστάιν αισθανόταν ότι είχε μια βαθύτερη κατανόηση του τι προκαλούσε αυτή την έλξη: το μήλο έπεφτε στη Γη καθώς συνέχιζε την πτώση του προς τη βαθιά κοιλότητα του χωροχρόνου που προκαλείται από τη μάζα της Γης.

H παρουσία αντικειμένων στο χωρόχρονο αναδεικνύει μια αμφίδρομη σχέση. Το σχήμα του χωροχρόνου επηρεάζει την κίνηση αντικειμένων, και την ίδια στιγμή αυτά τα αντικείμενα καθορίζουν το σχήμα του χωροχρόνου. Με άλλα λόγια, τα κοιλώματα του χωροχρόνου που επηρεάζουν τον Ήλιο και τους πλανήτες δημιουργούνται από τον ίδιο τον Ήλιο και τους πλανήτες. O John Wheeler, ένας από τους πλέον διακεκριμένους φυσικούς του 20ού αιώνα που ασχολήθηκαν με τη γενική σχετικότητα, συνόψισε τη θεωρία στο απόφθεγμα «η ύλη λέει στο χώρο πώς να καμπυλωθεί και ο χώρος λέει στην ύλη πώς να κινηθεί». Παρ’ ότι ο Wheeler θυσίασε την ακρίβεια για χάρη της κομψότητας (ο «χώρος» έπρεπε να είναι «χωρόχρονος»), η προηγουμένη δήλωση παραμένει μια έξοχη σύνοψη της θεωρίας του Αϊνστάιν.

Γενική Θεωρία της Σχετικότητας (βαρύτητας)

  • Αρχή της ισοδυναμίας: Η βαρύτητα επηρεάζει όλα τα αντικείμενα με τον ίδιο τρόπο. Δεν μπορεί να διακριθεί αν προέρχεται από την επιτάχυνση ή από ένα άλλο σώμα. Τέλος, είναι μια φανταστική δύναμη, όπως και η φυγόκεντρος στην κυκλική κίνηση
  • Τι προκαλεί την επιτάχυνση; Η καμπύλωση του χωροχρόνου λέει στην ύλη πώς να κινηθεί
  • Τι προκαλεί την καμπυλότητα; Η ύλη / ενέργεια λέει στον χωροχρόνο πώς να καμπυλωθεί
  • Η νέα εξίσωση βαρύτητας οδηγεί σε μια μη Ευκλείδια Γεωμετρία, στην οποία η καμπύλη τροχιά συμπίπτει με μια γραμμή ελάχιστου μήκους (γεωδαισιακή).

Η νέα θεωρία της βαρύτητας

Η νέα θεωρία του δέχεται πως λόγω της μάζας ή ισοδύναμα όταν υπάρχει ενέργεια, η γεωμετρία του χώρου παύει να είναι ευκλείδια.   Στην ευκλείδια γεωμετρά π.χ γνωρίζουμε πως το εμβαδόν της σφαιρικής επιφάνειας είναι S=4πr2 .

ή αν λύσουμε ως προς την ακτίνα  

Όμως στη νέα θεωρία βαρύτητας ή όπως λέγεται Γενική Θεωρία της Σχετικότητας (ΓΘΣ), η διαφορά  δεν είναι μηδέν αλλά
=Gm/3c2

Η παραπάνω σχέση είναι η θεμελιώδης εξίσωση της Αϊνστάινιας βαρύτητας και συνδέει το αίτιο (δηλαδή τη μάζα m) με το αποτέλεσμα , δηλαδή την απόκλιση από την ευκλείδια γεωμετρία .

Από τη τροποποιημένη γεωμετρία που έχουμε ήδη προσδιορίσει, μπορούμε να βρούμε τη τροχιά, που συμπίπτει με τη γραμμή του ελάχιστου μήκους.

Η γραμμή όμως του ελάχιστου μήκους σε μια τροποποιημένη (μη ευκλείδια) γεωμετρία δεν είναι η ευθεία γραμμή. Στην εποχή όμως του Αϊνστάιν υπήρχε ευτυχώς η κατάλληλη μη ευκλείδια γεωμετρία, στην οποία  η καμπύλη τροχιά συμπίπτει με τη γραμμή ελάχιστου μήκους.

Το σχήμα λοιπόν που πρότεινε ο Αϊνστάιν για τη θεωρία βαρύτητας μπορεί να συνοψισθεί ως εξής:

Η μάζα μέσω της εξίσωσης βαρύτητας οδηγεί σε μια μη Ευκλείδια Γεωμετρία, στην οποία η καμπύλη τροχιά συμπίπτει με μια γραμμή ελάχιστου μήκους (γεωδαισιακή).

Την καμπυλότητα του χώρου την προκαλεί η παρουσία της ύλης, δηλαδή της μάζας (ή αν προτιμάτε της ενέργειας). Έτσι τα σώματα κινούνται όχι λόγω κάποιας βαρυτικής δύναμης αλλά κινούνται στις τροχιές του καμπύλου χωρόχρονου, που λέγονται γεωδαισιακές. Η γεωδαισιακή είναι η καμπύλη με το μικρότερο μήκος, όπως η ευθεία στον επίπεδο Ευκλείδιο χώρο.

Τα βασανιστικά χρόνια 1907-1915

Αυτή η έννοια του ευέλικτου χωροχρόνου ίσως να ακούγεται  τρελή, αλλά ο Αϊνστάιν ήταν πεπεισμένος πως ήταν σωστή. Συμφωνά με τα δικά του αισθητικά κριτήρια, η σύνδεση μεταξύ του προσαρμοστικού χωροχρόνου και της βαρύτητας έπρεπε να ισχύει, ή όπως δήλωσε ο ίδιος ο Αϊνστάιν: «Όταν κρίνω μια θεωρία, αναρωτιέμαι κατά πόσο, αν εγώ ήμουν ο Θεός, θα είχα φτιάξει τον κόσμο με τέτοιο τρόπο». Ωστόσο, αν ο Αϊνστάιν επρόκειτο να πείσει τον υπόλοιπο κόσμο ότι είχε δίκιο, έπρεπε να επινοήσει ένα μαθηματικό τύπο που να περιγράφει τη θεωρία του. H μεγαλύτερη πρόκληση που αντιμετώπισε ο Αϊνστάιν ήταν η μετατροπή της μάλλον ασαφούς έννοιας του χωροχρόνου και της βαρύτητας, όπως περιγράφτηκε πιο πάνω με το σχήμα, σε μια φορμαλιστική θεωρία της γενικής σχετικότητας, διατυπωμένη σε αυστηρό μαθηματικό πλαίσιο.

O Αϊνστάιν χρειάστηκε οκτώ χρόνια επίπονης θεωρητικής έρευνας προτού καταφέρει να υποστηρίξει τη διαίσθηση του με έναν λεπτομερή, λογικό μαθηματικό συλλογισμό. Στη διάρκεια αυτών των οκτώ ετών πέρασε σημαντικές δυσκολίες, ενώ όποτε οι υπολογισμοί του έμοιαζαν να καταρρέουν, βίωνε περιόδους βαριάς ψυχολογικής κατάπτωσης. H διανοητική προσπάθεια θα οδηγούσε τον Αϊνστάιν στο χείλος νευρικής κατάρρευσης. Η πνευματική του κατάσταση και η απελπισία του αποκαλύπτονται σε σύντομα σχόλια που έγραψε σε επιστολές σε φίλους του, στη διάρκεια αυτών των επίπονων χρόνων.

Σε κάποια επιστολή, εκλιπαρούσε τον φίλο και συμμαθητή του Marcel Grossmann: “Πρέπει να με βοηθήσεις, διαφορετικά θα τρελαθώ!». Στον Paul Ehrenfest έλεγε ότι η ενασχόληση με τη σχετικότητα είναι σαν να τρέχεις μέσα σε «μια βροχή από φωτιά και θειάφι». Και, σε μια άλλη επιστολή, ανησυχούσε και αναρωτιόταν εάν «ανέδειξα κάτι σχετικά με τη θεωρία της βαρύτητας που θα με εκθέσει στον κίνδυνο του εγκλεισμού σε ψυχιατρείο».

Το κουράγιο που επέδειξε ο Αϊνστάιν επιχειρώντας να βαδίσει σε ανεξερεύνητα διανοητικά μονοπάτια δεν μπορεί να υποτιμηθεί. Το 1913 ο Μαξ Πλανκ του συνέστησε να μην ασχοληθεί με τη γενική σχετικότητα: «Ως γηραιότερος φίλος σου, οφείλω να σε συμβουλεύσω εναντίον της διότι μπορεί να αποτύχεις, αλλά ακόμη κι αν πετύχεις κανείς δεν θα σε πιστέψει».

O Αϊνστάιν έδειξε επιμονή, άντεξε τις δοκιμασίες και τελικά ολοκλήρωσε τη θεωρία του για τη γενική σχετικότητα το 1915. Όπως και ο Νεύτωνας, έτσι και ο Αϊνστάιν είχε τελικά διατυπώσει έναν μαθηματικό τύπο για να εξηγεί και να υπολογίζει τη δύναμη της βαρύτητας σε κάθε πιθανή κατάσταση. Όμως, ο τύπος του Αϊνστάιν ήταν πολύ διαφορετικός και είχε κατασκευαστεί βασισμένος σε μια εντελώς ξεχωριστή προϋπόθεση – την ύπαρξη ενός προσαρμοστικού χωροχρόνου.

Γιατί το μοντέλο του Νεύτωνα δεν επαρκούσε;

H θεωρία του Νεύτωνα περί βαρύτητας είχε αποδειχθεί επαρκής για τη φυσική των δύο προηγούμενων αιώνων, άρα γιατί οι φυσικοί ξαφνικά να την εγκαταλείψουν προκειμένου να υιοθετήσουν την  καινοτόμο θεωρία του Αϊνστάιν; H θεωρία του Νεύτωνα μπορεί να προβλέπει με επιτυχία τη συμπεριφορά όλων των αντικειμένων από τα μήλα μέχρι τους πλανήτες, και από τις οβίδες των κανονιών μέχρι τις σταγόνες τις βροχής, άραγε, ποια ήταν η ουσία της θεωρίας του Αϊνστάιν;

H απάντηση βρίσκεται στη φύση της επιστημονικής προόδου. Οι επιστήμονες αποπειρώνται να δημιουργήσουν θεωρίες για την εξήγηση και την πρόβλεψη φυσικών φαινομένων με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια. Μια θεωρία δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα για λίγα χρόνια, δεκαετίες ή αιώνες, αλλά τελικά οι επιστήμονες αναπτύσσουν και ενδεχομένως υιοθετούν μια καλύτερη θεωρία, με μεγαλύτερη ακρίβεια, που να δίνει αποτελέσματα σε μεγαλύτερη ποικιλία καταστάσεων και να εξηγεί φαινόμενα ανεξήγητα μέχρι τότε.

Αυτό ακριβώς συνέβη με τους πρώιμους αστρονόμους και την κατανόηση που είχαν για τη θέση της Γης στο σύμπαν. Αρχικά, οι αστρονόμοι πίστευαν ότι ο Ήλιος περιφερόταν σε τροχιά γύρω από μια ακίνητη Γη και, χάρη στους επίκυκλους και τους φέροντες κύκλους του Πτολεμαίου, αυτή η θεωρία ήταν αρκετά επιτυχής. Πράγματι, οι αστρονόμοι τη χρησιμοποίησαν και πρόβλεψαν τις κινήσεις των πλανητών με σημαντική ακρίβεια.

Ωστόσο η γεωκεντρική θεωρία αντικαταστάθηκε τελικά από την ηλιοκεντρική θεωρία του σύμπαντος επειδή η τελευταία, βασισμένη στις ελλειπτικές τροχιές του Κέπλερ, ήταν περισσότερο ακριβής και μπορούσε να εξηγήσει νέες τηλεσκοπικές παρατηρήσεις, όπως τις φάσεις της Σελήνης. H μετάβαση από τη μία θεωρία στην άλλη ήταν μακροχρόνια και οδυνηρή, αλλά από τη στιγμή που η ηλιοκεντρική θεωρία απέδειξε την ανωτερότητα της δεν υπήρχε δρόμος επιστροφής.

Κατά παρόμοιο τρόπο, ο Αϊνστάιν πίστευε ότι παρείχε στη φυσική μια βελτιωμένη θεωρία για τη βαρύτητα, μια θεωρία που ήταν πιο ακριβής και πιο κοντά στην πραγματικότητα. Ειδικότερα, ο Αϊνστάιν υποπτευόταν ότι η θεωρία του Νεύτωνα για τη βαρύτητα θα αποτύγχανε κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες, ενώ η δική του θα ήταν επιτυχής σε κάθε περίσταση. Σύμφωνα με τον Αϊνστάιν, η θεωρία του Νεύτωνα θα έδινε λανθασμένα αποτελέσματα κατά την πρόβλεψη φαινομένων σε περιπτώσεις όπου η βαρυτική δύναμη θα ήταν υπερβολικά μεγάλη. Συνεπώς, προκειμένου να αποδείξει ότι είχε δίκιο, ο Αϊνστάιν απλώς έπρεπε να εντοπίσει ένα από αυτά τα ακραία σενάρια για να ελέγξει τόσο τη δική του θεωρία όσο και τη θεωρία του Νεύτωνα. Όποια θεωρία μιμούνταν την πραγματικότητα με τη μεγαλύτερη ακρίβεια θα καταλάμβανε την υψηλότερη θέση και θα αναδεικνυόταν ως η σωστή θεωρία για τη βαρύτητα.

Το πρόβλημα του Αϊνστάιν ήταν ότι κάθε σενάριο επί Γης αντιμετώπιζε το ίδιο επίπεδο μέτριας βαρύτητας και, κάτω από αυτές τις συνθήκες, οι δύο θεωρίες ήταν εξίσου επιτυχείς, καμία δεν αποδεικνυόταν καλύτερη. Συνεπώς, συνειδητοποίησε ότι έπρεπε να στραφεί πέρα από τη Γη και να βρει, στο διάστημα, ένα περιβάλλον ακραίων συνθηκών βαρύτητας, το οποίο ίσως αποκάλυπτε τις ατέλειες της θεωρίας του Νεύτωνα.

Η ανωμαλία της τροχιάς του Ερμή

Συγκεκριμένα, γνώριζε ότι ο Ήλιος διαθέτει ένα ισχυρότατο βαρυτικό πεδίο και ότι ο πλησιέστερος στον Ήλιο πλανήτης, ο Ερμής, θα «αισθανόταν» εξαιρετικά μεγάλη βαρυτική έλξη. O Αϊνστάιν αναρωτήθηκε κατά πόσον η έλξη του Ήλιου ήταν αρκετά ισχυρή ώστε να εξαναγκάσει τον Ερμή να συμπεριφερθεί αφενός με τρόπο ασυνεπή προς τη νευτώνεια θεωρία της βαρύτητας, και αφετέρου με τρόπο ταιριαστό με τη δική του θεωρία. Στις 18 Νοεμβρίου 1915, ο Αϊνστάιν βρήκε κατά τύχη την περίπτωση που χρειαζόταν: ένα στοιχείο πλανητικής συμπεριφοράς που απασχολούσε τους αστρονόμους επί δεκαετίες.

Το 1859, ο Γάλλος αστρονόμος Urben Le Verrier είχε μελετήσει μια ανωμαλία στην τροχιά του Ερμή. O πλανήτης είχε ελλειπτική τροχιά, αλλά η έλλειψη αντί να είναι σταθερή, περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο, όπως φαίνεται παρακάτω.

Precessing_Kepler_orbit

Κάθε τροχιά του Ερμή μετατοπίζεται κατά 0,00038 μοίρες από την προηγούμενη τροχιά και καθώς θέλει 88 μέρες για να ολοκληρώσει την περιφορά του, άρα μετά από 100 χρόνια που ο Ερμής κάνει 415 τροχιές, η τροχιά του μετατοπίζεται κατά 574 δευτερόλεπτα του τόξου

H ελλειπτική τροχιά περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο, δημιουργώντας έναν γνώριμο σχηματισμό. H μετατόπιση είναι πολύ αμυδρή, περίπου 574 δευτερόλεπτα του τόξου ανά αιώνα, ενώ χρειάζονται ένα εκατομμύριο τροχιές και περισσότερα από 200.000 χρόνια προκειμένου ο Έρμης να διαγράψει την πλήρη τροχιά του γύρω από τον Ήλιο και να επιστρέψει στον αρχικό τροχιακό προσανατολισμό του. Σήμερα το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό ως μετατόπιση τον περιηλίου του Ερμή.

Οι αστρονόμοι είχαν υποθέσει ότι η παράξενη συμπεριφορά του Ερμή οφειλόταν στις βαρυτικές παρέλξεις των υπόλοιπων πλανητών του Ηλιακού Συστήματος που επηρέαζαν την τροχιά του, αλλά ο Le Verrier, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Νεύτωνα για τη βαρύτητα, βρήκε ότι η συνδυασμένη επίδραση των υπόλοιπων πλανητών μπορούσε να δικαιολογήσει μόνο τα 531 από τα 574 δευτερόλεπτα του τόξου της μετατόπισης που συνέβαινε κάθε αιώνα. Αυτό σήμαινε πως 43 δευτερόλεπτα του τόξου παρέμεναν ανεξήγητα.

Σύμφωνα με κάποιους, έπρεπε να υπάρχει μια επιπλέον, αόρατη επίδραση στην τροχιά του Ερμή που προκαλούσε αυτή τη μετατόπιση των 43 δευτερολέπτων του τόξου, όπως μια εσωτερική ζώνη αστεροειδών ή ένας άγνωστος δορυφόρος του Ερμή. Κάποιοι πρότειναν ακόμη και την ύπαρξη ενός πλανήτη στο εσωτερικό της τροχιάς του Ερμή, ο οποίος δεν είχε ανακαλυφθεί μέχρι τότε και τον ονόμασαν Ήφαιστο. Με άλλα λόγια, οι αστρονόμοι υπέθεταν ότι ο τύπος του Νεύτωνα για τη βαρύτητα ήταν σωστός, και ότι το πρόβλημα έπρεπε να βρίσκεται στη δική τους αποτυχία να συμπεριλάβουν όλους τους απαραίτητους παράγοντες. Ήλπιζαν ότι μόλις ανακάλυπταν τη νέα ζώνη αστεροειδών, τον κρυμμένο δορυφόρο ή τον πλανήτη, θα έκαναν ξανά τους υπολογισμούς, και θα κατέληγαν στην σωστή απάντηση των πεντακοσίων εβδομήντα τεσσάρων δευτερόλεπτων του τόξου.

Η λύση του Einstein

Ωστόσο, ο Αϊνστάιν ήταν βέβαιος πως δεν υπήρχε καμία ζώνη αστεροειδών, κανένας δορυφόρος και κανένας πλανήτης που περίμεναν να ανακαλυφθούν, και ότι το πρόβλημα βρισκόταν στον τύπο για τη βαρύτητα του Νεύτωνα. H θεωρία του Νεύτωνα έδινε άριστα αποτελέσματα κατά την περιγραφή όσων συνέβαιναν στο γήινο περιβάλλον με την ασθενή βαρύτητα, αλλά ο Αϊνστάιν ήταν πεπεισμένος πως οι ακραίες συνθήκες βαρύτητας που επικρατούσαν κοντά στον Ήλιο ήταν πέρα από τις δυνατότητες του τύπου του Νεύτωνα. Επρόκειτο για έναν εξαιρετικό στίβο αναμέτρησης των δύο αντιμαχόμενων θεωριών, και ο Αϊνστάιν περίμενε με βεβαιότητα ότι η δική του θεωρία περί βαρύτητας θα εξηγούσε με ακρίβεια τη μετατοπιζόμενη τροχιά του Ερμή.

O Αϊνστάιν βάλθηκε να αποδείξει την ορθότητα της θεωρίας του και διεξήγαγε τους απαραίτητους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας το δικό του τύπο. Το αποτέλεσμα ήταν 574 δευτερόλεπτα του τόξου, σε πλήρη συμφωνία με την παρατήρηση.

«Για λίγες μέρες», έγραψε ο Αϊνστάιν, «η ευφορία με οδηγούσε σε μια κατάσταση έκστασης».

Δυστυχώς, η κοινότητα των φυσικών δεν πείστηκε απόλυτα από τον υπολογισμό του Αϊνστάιν. Το επιστημονικό κατεστημένο είναι εγγενώς συντηρητικό, όπως ήδη γνωρίζουμε, εν μέρει για πρακτικούς και εν μέρει για συναισθηματικούς λόγους.

Αν μια νέα θεωρία ανατρέπει μια παλιά, τα παλαιά δεδομένα πρέπει να εγκαταλειφθούν και ό,τι απομείνει από το επιστημονικό πλαίσιο πρέπει    να συμφιλιωθεί με τη νέα θεωρία. Μια τέτοια ανακατάταξη δικαιολογείται μόνο αν το κατεστημένο πεισθεί απολύτως ότι η νέα θεωρία δίνει καλά αποτελέσματα. Με άλλα λόγια, το βάρος της απόδειξης πέφτει πάντα στους ώμους των υποστηρικτών οποιασδήποτε νέας θεωρίας. O συναισθηματικός φραγμός για την αποδοχή είναι εξίσου υψηλός. Οι γηραιότεροι επιστήμονες που είχαν περάσει ολόκληρη τη ζωή τους πιστεύοντας στον Νεύτωνα ήταν φυσικά απρόθυμοι να εγκαταλείψουν αυτό που κατανοούσαν και εμπιστεύονταν για χάρη κάποιας τυχάρπαστης καινοτομίας.

Όπως ήταν αναμενόμενο, το επιστημονικό κατεστημένο υπερασπίστηκε την άποψη του ότι ο τύπος του Νεύτωνα ήταν σωστός και ότι ο αστρονόμοι αργά ή γρήγορα θα ανακάλυπταν κάποιο νέο αντικείμενο που θα εξηγούσε πλήρως τη μετατόπιση της τροχιάς του Ερμή. Όταν λεπτομερέστερες παρατηρήσεις δεν αποκάλυψα κανένα ίχνος εσωτερικής ζώνης αστεροειδών, ούτε κάποιον κρυμμένο δορυφόρο ή πλανήτη, οι αστρονόμοι προσέφεραν μια άλλη λύση για να στηρίξουν την προβληματική θεωρία του Νεύτωνα. Μεταβάλλοντας το r2 του παρανομαστή της εξίσωσης του Νεύτωνα σε r2,00000016 , μπόρεσαν να περισώσουν την κλασική προσέγγιση και να εξηγήσουν την τροχιά του Ερμή.

Ωστόσο, αυτό ήταν απλώς ένα μαθηματικό τέχνασμα. Δεν είχε καμία φυσική αιτιολόγηση, αλλά αποτελούσε απλώς μια απελπισμένη έσχατη προσπάθεια διάσωσης της νευτώνειας θεωρίας της βαρύτητας. Πράγματι, μια τέτοια ad hoc προσαρμογή ήταν ενδεικτική του είδους της λογικής που φοράει παρωπίδες, η οποία οδήγησε κάποτε τον Πτολεμαίο στην προσθήκη περισσότερων κύκλων στην εσφαλμένη θεώρηση του για ένα γεωκεντρικό σύμπαν με επίκυκλους.

Έλεγχος της θεωρίας του

Αν ο Αϊνστάιν ήθελε να αντιμετωπίσει έναν τέτοιου είδους συντηρητισμό, να κερδίσει τους επικριτές του και να εκθρονίσει τον Νεύτωνα, έπρεπε να συγκεντρώσει ακόμη περισσότερα στοιχεία υπέρ της θεωρίας του. Έπρεπε να βρει ακόμη ένα φαινόμενο δεν είχε ακόμη παρατηρηθεί και που θα μπορούσε να εξηγηθεί από τη δική του θεωρία και όχι από εκείνη του Νεύτωνα. Κάτι τόσο ασυνήθιστο που θα έδινε ακαταμάχητη, αδιάσειστη απόδειξη υπέρ της δικής του θεωρίας για τη βαρύτητα, τη γενική σχετικότητα και το χωρόχρονο.

Βέβαια, αυτό το φαινόμενο έπρεπε να λάβει χώρα σε ένα περιβάλλον ακραίας βαρύτητας, αλλιώς οι προβλέψεις τόσο του Νεύτωνα όσο και του Αϊνστάιν θα συνέπιπταν και δεν θα προέκυπτε νικητής.

Στο τέλος, αυτός ο «ή ταν ή επί τας» έλεγχος ήταν ένα φαινόμενο που είχε να κάνει με τη συμπεριφορά του φωτός. Πριν καν εφαρμόσει τη θεωρία του στον Ερμή – στην πραγματικότητα, πριν ακόμη ολοκληρώσει τη διατύπωση της γενικής σχετικότητας – ο Αϊνστάιν είχε αρχίσει να εξερευνά την αλληλεπίδραση μεταξύ φωτός και βαρύτητας.

Σύμφωνα με τη χωροχρονική διατύπωση της βαρύτητας, οποιαδήποτε δέσμη φωτός περνούσε κοντά από κάποιον αστέρα ή πλανήτη με μεγάλη μάζα, θα βρισκόταν κάτω από τη βαρυτική έλξη του αστέρα ή του πλανήτη. Το φως θα άλλαζε δρόμο, αποκλίνοντας ελαφρώς από την αρχική πορεία του. H θεωρία του Νεύτωνα για τη βαρύτητα προέβλεπε επίσης ότι βαριά αντικείμενα θα καμπύλωναν το φως, αλλά σε μικρότερο βαθμό.  spacetime_curvature

Καμπύλωση του φωτός γύρω από ένα βαρύ αντικείμενο

Συνεπώς, αν κάποιος μπορούσε να μετρήσει την καμπύλωση του φωτός εξαιτίας ενός ουράνιου αντικειμένου μεγάλης μάζας, το αποτέλεσμα (αν η καμπύλωση ήταν μικρή ή πολύ μικρή) θα καθόριζε αν είχε δίκιο ο Αϊνστάιν ή ο Νεύτωνας.

Η καμπύλωση του φωτός

Ήδη από το 1912 ο Αϊνστάιν άρχισε να εργάζεται για τον τρόπο πραγματοποίησης αυτής της καθοριστικής μέτρησης. Έτσι, επικεντρώθηκε στον Ήλιο, ο οποίος λόγω της τεράστιας μάζας του η βαρυτική του έλξη θα είχε σημαντική επίδραση σε μια ακτίνα φωτός προερχόμενη από κάποιον απομακρυσμένο αστέρα, και ότι η καμπύλωση του φωτός μπορούσε να ανιχνευθεί.

Για παράδειγμα, αν ο αστέρας βρισκόταν πίσω από το χείλος του Ήλιου, και έτσι έξω από τη γραμμή παρατήρησης μας, δεν θα περιμέναμε να τον δούμε από τη Γη. Ωστόσο, η τεράστια βαρυτική δύναμη του ήλιου και η παραμόρφωση του χωροχρόνου θα είχαν ως αποτέλεσμα την απόκλιση του αστρικού φωτός προς τη Γη καθιστώντας τον ορατό. Ο αστέρας, ο οποίος συνεχίζει να βρίσκεται πίσω από τον ήλιο, θα φαινόταν σα να βρισκόταν ελαφρώς δίπλα από τον ήλιο. Το ποσοστό της μετακίνησης από την πραγματική θέση προς τη φαινόμενη θα ήταν πολύ μικρό, αλλά θα υποδείκνυε ποιος είχε δίκιο, επειδή ο τύπος του Νεύτωνα προέβλεπε ακόμη μικρότερη μετακίνηση από τον τύπο του Αϊνστάιν

Όμως υπήρχε ένα πρόβλημα: η παρατήρηση ενός αστέρα, το φως του οποίου θα καμπυλωνόταν από τον Ήλιο έτσι ώστε αυτός να φαίνεται σα να βρισκόταν δίπλα στον Ήλιο, θα συνέχιζε να είναι αδύνατη λόγω της εξαιρετικά μεγάλης λαμπρότητας του Ήλιου.

Στην πραγματικότητα, η περιοχή γύρω από τον Ήλιο είναι πάντα γεμάτη με αστέρες, αλλά όλοι τους παραμένουν αόρατοι επειδή η λαμπρότητα τους είναι αμελητέα σε σύγκριση με εκείνη του Ήλιου. Ωστόσο, υπάρχει μία περίπτωση κατά την οποία οι αστέρες που βρίσκονται πέρα από τον Ήλιο αποκαλύπτονται. Ο Αϊνστάιν λοιπόν σκέφτηκε ότι έπρεπε να αναζητήσουν αστρικές μετατοπίσεις κατά τη διάρκεια μιας ολικής έκλειψης Ηλίου.

Όταν η Σελήνη εξαφανίζει τον Ήλιο στη διάρκεια μιας έκλειψης, η ημέρα γίνεται για λίγο νύχτα και αποκαλύπτονται οι αστέρες. O δίσκος της Σελήνης ταιριάζει πάνω στον Ήλιο τόσο τέλεια ώστε θα ήταν δυνατόν να αναγνωριστεί ένας αστέρας σε απόσταση μόλις κλάσμα της μοίρας από το χείλος του Ήλιου — ή καλύτερα ένας αστέρας το φως του οποίου είχε καμπυλωθεί έτσι ώστε να μοιάζει ότι βρίσκεται ένα κλάσμα της μοίρας έξω από τον ηλιακό δίσκο.

O Αϊνστάιν ήλπιζε ότι οι αστρονόμοι θα μπορούσαν να εξετάσουν φωτογραφίες προηγούμενων εκλείψεων και να βρει τις μεταβολές στη θέση τις οποίες χρειαζόταν προκειμένου να αποδείξει ότι ο τύπος του για τη βαρύτητα ήταν σωστός, αλλά γρήγορα έγινε σαφές ότι τα δεδομένα από δεύτερο χέρι δεν επαρκούσαν. H εμφάνιση και η πλαισίωση των φωτογραφιών έπρεπε να είναι τέλεια ώστε να ανιχνευτούν απειροελάχιστες μετατοπίσεις στη θέση των αστέρων, και οι φωτογραφίες παλαιότερων εκλείψεων δεν ήταν κατάλληλες.

H επιστήμη όμως την εποχή εκείνη, που ο Αϊνστάιν σκέφτηκε το πείραμα του, ήταν καθηλωμένη εξ αιτίας του Α! Παγκόσμιου Πολέμου. Οπότε και όλη η έρευνα καθηλώθηκε γιατί ο κόσμος επικεντρώθηκε στο ποιος θα κέρδιζε τον πόλεμο, ενώ πολλοί από τους πιο λαμπρούς επιστήμονες της Ευρώπης κατατάχτηκαν ως εθελοντές στο στρατό της πατρίδας τους.

Οι δύο αποστολές για την έκλειψη του ήλιου

Arthur Stanley Eddington Αλλά, στις 29 Μαΐου του 1919 θα γινόταν μια έκλειψη ορατή στο Νότιο ημισφαίριο. Έτσι, οι αστρονόμοι αποφάσισαν να την φωτογραφίσουν παρόλο τα μεγάλα προβλήματα της εποχής. Σχηματίστηκαν λοιπόν δύο ομάδες αστρονόμων: μια που θα πήγαινε στην βραζιλιάνικη ζούγκλα και μια με επικεφαλής τον Βρετανό Arthur Eddington που κατευθύνθηκε έξω από τις ακτές της Γουϊνέας, στην Δυτική Αφρική.

Ο Βρετανός Arthur Eddington βοήθησε να δοκιμαστεί η πρόβλεψη της θεωρίας του Αϊνστάιν, παρά το γεγονός ότι η Βρετανία και η Γερμανία βρίσκονταν σε εμπόλεμη κατάσταση. Ο Eddington, ένας αντιρρησίας συνείδησης λόγω του πιστεύω του ως κουάκερου, είχε απαλλαγεί από τη στρατιωτική του θητεία υπό τον όρο ότι θα συνέχιζε την επιστημονική του δουλειά, ιδιαίτερα τις προετοιμασίες του για την επερχόμενη έκλειψη Ηλίου στην οποία η Σελήνη επρόκειτο να περάσει μπροστά από τον Ήλιο. Η έκλειψη του 1919 έγινε όταν οι δύο χώρες ήταν ακόμα σε εμπόλεμη κατάσταση, γι αυτό και ήταν πολύ δύσκολη η συννενόηση Γερμανών και Βρετανών.

Οι παρατηρήσεις της έκλειψης θα οδηγούσαν σε τρία πιθανά αποτελέσματα. Ίσως το αστρικό φως να ήταν ελαφρώς καμπυλωμένο, όπως προέβλεπε η θεωρία του Νεύτωνα για τη βαρύτητα. Ή, όπως ήλπιζε ο Αϊνστάιν, να υπήρχε μια πιο σημαντική καμπύλωση, σε συμφωνία με τη γενική σχετικότητα. Ή ίσως το αποτέλεσμα να μην συμφωνούσε ούτε με τη μια θεωρία ούτε με την άλλη, γεγονός που θα σήμαινε ότι τόσο ο Νεύτωνας όσο και ο Αϊνστάιν είχαν κάνει λάθος.

O Αϊνστάιν πρόβλεψε ότι το φως ενός αστέρα ο οποίος εμφανίζεται ακριβώς δίπλα από τον Ήλιο θα έπρεπε να καμπυλώνεται κατά 1,74 δευτερόλεπτα του τόξου (0,0005°), γωνία που ήταν μόλις εντός της ακρίβειας του εξοπλισμού του Eddington και διπλάσια από την απόκλιση που προέβλεπε ο Νεύτωνας. Μια τέτοια γωνιακή απόκλιση ισοδυναμεί με τη μετακίνηση ενός κεριού που βρίσκεται σε απόσταση ενός χιλιομέτρου, μόλις κατά ένα εκατοστό προς τα αριστερά.

Δυστυχώς καθώς πλησίαζε η μέρα της έκλειψης μαζεύτηκαν απειλητικά σύννεφα πάνω από την περιοχή που ήταν ο Eddington, ξεσπώντας έντονες καταιγίδες. Οι καταιγίδες υποχώρησαν στο σημείο παρατήρησης ακριβώς μία ώρα πριν από τη στιγμή που ο σεληνιακός δίσκος άγγιζε το χείλος του Ήλιου, όμως ο ουρανός ήταν ακόμη σκοτεινός και οι συνθήκες παρατήρησης κάθε άλλο παρά ιδανικές. H αποστολή διέτρεχε κίνδυνο.

Έκλειψη 29-5-1919 Γύρω στις 13:30 η βροχή σταμάτησε και άρχισε η έκλειψη. Από τις δεκαέξι φωτογραφίες που τραβήχτηκαν από την ομάδα του, οι περισσότερες καταστράφηκαν από τα σύννεφα που σκοτείνιαζαν τα άστρα. Στην πραγματικότητα, κατά τη διάρκεια των λίγων πολύτιμων λεπτών καθαρού ουρανού, η ομάδα κατάφερε να τραβήξει μόνο μία φωτογραφία που είχε επιστημονική αξία.

Τα αποτελέσματα όμως από αυτή τη φωτογραφία (δεξιά εικόνα) έδωσαν μια συγκεκριμένη μετατόπιση σε καλή συμφωνία με τη θεωρία του Αϊνστάιν και σε πλήρη ασυμφωνία με τη νευτώνεια πρόβλεψη.

Κάποιοι αστέρες που βρίσκονταν λίγο πιο μακριά από τον Ήλιο ήταν ορατοί και είχαν μετατοπιστεί κατά 1 δευτερόλεπτο του τόξου από τις συνηθισμένες θέσεις τους. O Eddington υπολόγισε ότι η μέγιστη μετατόπιση θα ήταν 1,61 δευτερόλεπτα του τόξου. Αφού έλαβε υπόψη του οποιαδήποτε λάθη κατά τη μέτρηση και άλλες πιθανές ανακρίβειες, υπολόγισε ότι το σφάλμα στη μέγιστη μετατόπιση έφτανε το πολύ μέχρι την τιμή των 0,3 δευτερολέπτων του τόξου, και επομένως το τελικό αποτέλεσμα ήταν ότι η μετατόπιση λόγω της βαρύτητας του Ήλιου ήταν 1,61 ±0,3 δευτερόλεπτα του τόξου.

O Αϊνστάιν είχε προβλέψει μια μετατόπιση των 1,74 δευτερολέπτων του τόξου. Αυτό σήμαινε ότι η πρόβλεψη του Αϊνστάιν ήταν σε συμφωνία με την πραγματική μέτρηση, ενώ η νευτώνεια πρόβλεψη, η οποία ήταν μόλις 0,87 δευτερόλεπτα του τόξου, ήταν πάρα πολύ μικρή.

O Eddington απέστειλε ένα συγκρατημένα αισιόδοξο τηλεγράφημα στους συνεργάτες του στην Αγγλία: «Μέσα από τα σύννεφα, βλέπω μια αχτίδα αισιοδοξίας».

Συγχρόνως, το αποτέλεσμα της ομάδας από τη Βραζιλία βασισμένο σε μετρήσεις των θέσεων αρκετών αστέρων, υποδείκνυε μια μέγιστη μετατόπιση των 1,98 δευτερολέπτων του τόξου, τιμή μεγαλύτερη από την πρόβλεψη του Αϊνστάιν, αλλά και πάλι σε συμφωνία, δεδομένου του εύρους σφάλματος. Αυτό ενίσχυσε το συμπέρασμα της ομάδας του Eddington.

Στις 6 Νοεμβρίου 1919, τα αποτελέσματα του παρουσιάστηκαν επίσημα σε μια από κοινού συνεδρίαση της Βασιλικής Αστρονομικής Εταιρείας και της Βασιλικής Εταιρείας.

Τα αποτελέσματα του Eddington από την αποστολή της έκλειψης της 29ης Μαΐου του 1919 επιβεβαιώθηκαν το 1922 από μία ομάδα αστρονόμων η οποία παρατήρησε μια ηλιακή έκλειψη από την Αυστραλία.

Ας σημειωθεί πως μέχρι το 1967 επικρατούσε η άποψη ότι ο ρυθμός μετάπτωσης της τροχιάς του Ερμή ήταν ο ακριβέστερος έλεγχος της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας (ΓΘΣ). Τότε όμως ανακαλύφθηκε ότι ο Ήλιος δεν είναι μία τέλεια σφαίρα. Αυτή η παρατήρηση έχει σαν αποτέλεσμα μία μικρή απόκλιση μεταξύ θεωρίας και μέτρησης της τάξης του ενός χιλιοστού της μοίρας ανά αιώνα.

Στα μέσα της δεκαετίας του ’80 υποστηρίχθηκε ότι ο Ήλιος είναι πολύ πιο παραμορφωμένος από όσο πιστευόταν, με αποτέλεσμα η σύγκλιση θεωρίας και πειράματος να μην είναι τόσο καλή όσο νομίζαμε. Ωστόσο, σύμφωνα με τελευταίες μετρήσεις, αυτό δεν είναι σωστό και πραγματικά η ΓΘΣ προσεγγίζει την πραγματική τιμή της μετάπτωσης του Ερμή με πολύ μεγάλη ακρίβεια.

Πηγές: Big Bang του Simon Singh (εκδόσεις Τραυλός), Wikipedia, παλιά άρθρα από το physics4u

Διαβάστε και :

About these ads

Υποβολή απάντησης

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

WordPress.com Logo

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Log Out / Αλλαγή )

Twitter picture

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Log Out / Αλλαγή )

Facebook photo

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Log Out / Αλλαγή )

Google+ photo

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Log Out / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Κατηγορίες

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 179 other followers

%d bloggers like this: